DU SECOND DEGRÉ. ^> 9 



Une ellipse, si ^ < 1 , 

 Une hyperbole, si A > 1, 

 Une parabole, si t = 1. 



Puisque D est la directrice, le grand axe de la courbe du second degré 

 coïncidera avec la perpendiculaire abaissée du foyer P sur D, et le petit 

 axe sera parallèle à D et par suite à l'axe de révolution; or, le petit axe de 

 la courbe devra de plus coïncider avec l'axe de révolution de la surface : 

 sans cela, la courbe du second degré, en tournant autour d'une droite qui 

 ne serait pas un de ses axes, engendrerait une surface de révolution qui 

 pourrait être coupée par un plan perpendiculaire à cette droite, suivant 

 deux circonférences de cercles. Mais les considérations, qui ont conduit à 

 conclure que le lieu clierché était composé uniquement d'un système de 

 cercles parallèles, excluent celte hypothèse. 



Lorsque /.= 1 , le méridien de la surface de révolution est une para- 

 bole qui, tournant autour de son petit axe situé à l'infini, engendre une 

 surface cylindrique projetée dans ve même méridien. On arriverait di- 

 rectement à la même conclusion, en remarquant que les sphères auxi- 

 liaires dont nous avons fait usage dans le cas général, se changent en 

 plans dans le cas particulier de k = I . 



Coiollaue l. — En coupant par un plan la surface que nous venons de 

 déterminer, on a le corollaire : 



Si un point se meut dans uii plan de manière que le rapport de ses 

 distances à un point et à une dioite lixcs, situés ou non dans ce plan, 

 reste toujours égal à k, il décrira une parabole, si /c = 1; une ellipse, si 

 Ar < 1 , et une courbe du second degré dont la nature dépend de la posi- 

 tion du plan , si /t > 1 . 



Corollaire "2. — Lors(jiie /i = 1 , on a cet autie corollaire : 



La courbe à double courbure, interseclion diine sphère cl d un ( ylin- 



dre de révolution qui ont des rayons égaux, se projette sur h- |)lan, qui 



passe par le centre de la sphère et l'axe du cylindre, dans une paralxdc 



qui a respectivement pour foyer d direclrice ht centre (h; la sphère cl l'axe 



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