10 SUR DIVERS LIEUX GÉOMÉTRIQUES 



du cylindre. La même courbe à double courbure se projette, sur un plan 

 perpendiculaire à l'axe du cylindre, dans une circonférence de cercle, 

 section droite du cylindre. 



Mais cette propriété est plus générale et peut s'énoncer ainsi : toutes 

 les courbes à double courbure , intersections d'une série de sphères con- 

 centriques avec une série de cylindres de révolution ayant même axe, 

 pourvu que les sphères et les cylindres aient deux à deux des rayons égaux , 

 se projettent, suivant une même parabole, sur le plan qui passe par le 

 centre de la sphère et l'axe du cylindre. Ce centre et cet axe sont respec- 

 tivement le foyer et la directiùce de la parabole. 



g IV. 



LIED GÉOMÉTRIQUE DONT LES DISTANCES DE CHAQUE POINT A UNE DROITE ET A UN PLAN 

 DONNÉS SONT DANS LE RAPPORT CONSTANT k. 



Propriété du lieu demandé. — Le lieu géométrique dont les distances de 

 chaque point à une droite et à un plan donnés sont dans le rapport con- 

 stant k, est une suiface conique dont le sommet est au point de rencontre 

 de la droite avec le plan. Toute section faite dans cette surface, par un 

 plan perpendiculaire à la droite, est une courbe du second degré qui a 

 pour foyer le point dans lequel le plan perpendiculaire rencontre la droite 

 et pour directrice la droite dans laquelle le plan perpendiculaire rencon- 

 tre le plan proposé : la courbe sera, en désignant par a l'angle de la 

 droite avec le plan donné : 



Une parabole, si k cos. « = 1 , 

 Une ellipse, si k cos. « < 1, 

 Une hyperbole, si k cos. a > 1. 



La section faite dans la surface conique par un plan parallèle au plan 

 proposé est toujours une ellipse. 



