fô SUR DIVERS LIEUX GÉOMÉTRIQUES 



Cette égalité signifie que le rapport des distances du point m au point 

 D et à la droite T est constant et égal a /■" cos «; le point m appartient 

 donc à une courbe du second degré qui a respectivement pour foyer et 

 directrice le point D et la droite T; celte courbe sera 



Une parabole , si k cos. x ^ i , 

 Une ellipse, si A cos. ^ < t. 

 Une hyperbole, si k cos. a > I. 



Ainsi se trouve démontré qu'un plan, perpendiculaire à la droite pro- 

 posée, coupe la surface conique dans une courbe du second degré qui a 

 pour foyer le point, dans lequel ce plan rencontre la droite proposée, et pour 

 directrice la droite, dans laquelle ce même plan rencontre le plan proposé. 



Il nous reste à faire voir que toute section faite dans la surface conique 

 par un plan parallèle au plan proposé est toujours une ellipse. 



Pour cela, ayant construit deux droites dont les longueurs d, d' soient 

 dans le rapport constant A, imaginons le cylindre de révolution qui a pour 

 axe la droite proposée et pour rayon d ; imaginons également un plan 

 auxiliaire parallèle au plan proposé et qui en soit distant de la quantité 

 d' , il est évident que la courbe d'inlersection du cylindre avec le plan 

 auxiliaire appartient au lieu cbercbé. Or, cette courbe est une ellipse; et 

 comme on arrivera à la même conclusion si l'on fait varier ensemble d et d' 

 sans faire varier leur rapport, il s'ensuit que le lieu demandé que nous sa- 

 vons être une surface conique, est composé d'une suite d'ellipses parallèles 

 au plan proposé ; ce qui était à démontrer. 



Kn faisant les mêmes raisonnements pour le cas où la droite proposée 

 est perpendiculaire au plan donné, on trouvera que le lieu cherché est une 

 surface conique de révolution autour de la droite, et enfin, si la droite est 

 parallèle au plan proposé, que le lieu demandé est une surface cylindrique 

 dont les génératrices sont parallèles à la droite proposée. 



Corollidre 1. — Si un point se meut dans un plan donné de manière 

 que le rapport de ses dislances à une droite et à un plan fixes soit con- 

 stant et égal à k, il décrira dans le plan donné une courbe du deuxième 

 degré, intersection de ce plan avec la surface conique examinée plus haut. 



