DU SECOND DEGRÉ. 15 



Démonstration. — Si l'on se donne un point du lieu demandé, c'est-à- 

 dire, un point dont les distances aux deux droites proposées sont dans le 

 rapport constant k, il résulte du principe, que nous allons citer, que la 

 droite qui joint ce point avec le sommet de l'angle des droites proposées 

 appartient au même lieu, et par suite que le lieu cherché est une surface 

 conique dont le sommet coïncide avec celui de l'angle des deux droites. 

 Ce principe est le suivant : « Si trois droites situées ou non dans un 

 même plan, passent par un même point, les distances d'un point quel- 

 conque de l'une d'elles aux deux autres sont toujours dans un même rap- 

 port. » 



Démontrons maintenant que le lieu cherché , qui est une surface co- 

 nique, est toujours coupé suivant une ellipse par tout plan parallèle à 

 l'un ou l'autre des deux plans bissecteurs des angles formés par les deux 

 droites. 



Désignons par D, D' les deux droites proposées, et, dans leur plan , me- 

 nons une parallèle quelconque à l'une d'elles, à D, par exemple, et dési- 

 gnons cette parallèle par d. Imaginons aussi la surface cylindrique de 

 révolution dont les distances de chaque point aux deux parallèles D, d 

 sont dans le rapport constant k. Cela fait, les deux plans bissecteurs des 

 angles formés par d et D' couperont la surface cylindrique dans deux el- 

 lipses, qui feront parti du lieu demandé, comme il est facile de s'en con- 

 vaincre, si l'on fait attention que la distance d'un point quelconque de 

 l'une de ces sections à la droite d est égale à la distance du même point à 

 la droite D' ; mais les plans bissecteurs des angles formés par d et D' sont 

 respectivement parallèles aux plans bissecteurs des angles des deux droites 

 proposées D, D' ; et ainsi se trouve établie la propriété énoncée. 



Corollaire 1. — La courbe à double courbure, intersection de deux cy- 

 lindres de révolution, dont les axes se coupent, se trouve sur la surface 

 conique définie plus haut. Cette courbe se réduit à deux ellipses, lorsque 

 les raycns des deux cylindres sont égaux. Cela vient de ce que le lieu des 

 points de l'espace dont chacun est à égah; distance des deux droites, se 

 réduit aux deux plans bissecteurs des angles de ces droites. 



