aO SUR DIVERS LIEUX GÉOMÉTRIQUES 



lipse E'; ayant mené na perpendiculaire à oD et n'a' perpendiculaire à 

 a'D', je dis que la droite {na, n'a') ayant respectivement pour projections 

 horizontale et verticale ho et n'a', appartient au lieu cherché, c'est-à-dire 

 que pour un point quelconque (», n') de cette droite, on aura toujours la 

 relation 



nU : »'!)■ = t (4). 



Et, en effet, si l'on mène an" perpendiculaire à aD', on pourra considérer 

 na,n"a comme les deux projections horizontale et vorlicale d'une droite de 

 la surface gauche déterminée plus haut; on aura donc, pour le point {n,n") 

 de cette droite, l'égalité 



ni) : ii"D' = k. 



Or, d'après la figure, on reconnaît facilement que n"D' = )i'D'; et en rem- 

 plaçant «"D'par son égal h'D', l'égalité précédente devient 



nD : h'D' = k, 



laquelle coïncidant avec l'équation (i), prouve la validité de cette dernière. 

 Donc la droite [na, n'a') menée par un point de l'ellipse E' et toutes celles 

 construites d'après la même loi par les différents points de cette courbe, 

 appartiennent au lieu demandé. 



Faisons remarquer que l'on passe de la droite {na,n"a) menée par le 

 point {a, a) de l'ellipse E, à la droite {na, n'a') menée par le point (a, a') de 

 l'ellipse E', en faisant tourner n"a autour de la ligne de terre, comme 

 pour la rabattre en deçà de cette ligne. 



Au moyen de cette remarque, on prouvera facilement que deux droites 

 construites d'après la même loi que («o, «'«'), et menées par deux points 

 quelconques de l'ellipse E', ne sont jamais dans un même plan et [)ar suite 

 que la surface formée par toutes ces droites est également gauche. 



Il nous reste à faire voir que les deux surfaces gauches que nous venons 

 de déterminer, ne forment qu'une seule et même surface: et pour cela 

 qu'une droite quelconque de la première surface gauche rencontre tou- 



