^ SUR DIVERS LIEUX GÉOMÉTRIQUES 



loïde à une nappe, lieu des points de l'espace dont le rapport des dis- 

 tances respectives aux deux droites est constant et égal à celui des rayons 

 des deux cylindres. 



En faisant varier les rayons des deux cylindres, sans faire varier leur 

 rapport, l'ensemble dos intersections successives des deux cylindres con- 

 stituera l'hyperboloïde mentionné. 



De là on déduit aussi que le plan mené par les deux perpendiculaires 

 abaissées d'un point quelconque de l'byperboloïde sur les deux droites 

 proposées , est un plan normal en ce même point à l'iiyperboloïde ; car 

 l'une des perpendiculaires est normale au premier cylindre et l'autre au 

 second cylindre ; donc leur plan est perpendiculaire à la tangente en ce 

 point à la courbe d'intersection des deux cylindres, et par suite normal à 

 l'hyperboloïde. 



Corollaire 2. — Du corollaire précédent résulte cette autre propriété, 

 qui n'a pu être établie jusqu'ici que par l'analyse , mais qui n'a plus qu'un 

 intérêt scientifique dans la théorie des engrenages, depuis le travail de 

 M. Olivier sur cette matière. Cette propriété consiste en ce que de toutes 

 les droites qui s'appuient sur les deux droites proposées, la plus courte 

 distance entre celles-ci est la seule normale à l'hyperboloïde. 



En effet, supposons qu'une droite d, s'appuyant à la fois sur les deux 

 droites proposées D, D', soit normale à l'hyperboloïde en un point m. 

 Ayant abaissé du point m deux perpendiculaires /;, p' sur les deux droi- 

 tes proposées D, D' respectivement, le plan de ces deux perpendiculaires 

 sera , d'après le corollaire précédent, normal au point m à l'hyperbo- 

 loïde, et, comme tel, devra renfermer la droite d qui est normale au même 

 point ui à l'hyperboloïde. Ainsi , les trois droites p, p' et d, partant du même 

 point m, devront être dans un même plan; or, cela est impossible; car il 

 en lésulterait que les deux droites proposées D, D', dont chacune ren- 

 contre (/ et l'une des deux perpendiculaires p, p', seraient dans ce même 

 plan, ce qui est contraire a. la définition des deux droites proposées D, D'. 

 Donc il est impossible en général qu'une droite qui s'appuie sur les deux 

 droites proposées puisse être normale à l'hyperboloïde. Mais cette impos- 



