DU SECOND DEGRÉ. 23 



sibilité disparaît, c'est-à-dire que les trois droites p, p' et d pourront être 

 dans un même plan, sans que les deux droites proposées D, D' y soient, 

 lorsque la droite d coïncide avec la plus courte distance entre les deux 

 droites proposées : alors les trois droites p, p' , d coïncident; tout plan, 

 passant par d, renfermant nécessairement p et p', sera un plan normal, 

 et partant d sera normal à l'hyperboloïde. 



Cette démonstration convient également au paraboloïde hyperbolique 

 dans lequel se convertit l'hyperboloïde que nous venons de déterminer, 

 lorsque fc = 1 . 



Corollaire 3. — Si un point se meut dans un plan donné, de manière 

 que ses distances à deux droites non situées dans un même plan, soient 

 dans le rapport constant k, il décrira une courbe du second degré, in- 

 tersection du plan donné avec l'hyperboloïde à une nappe mentionné. 



Troisième cas. — Les deux droites ne sont pas situées dans un même plan 

 et k = 1. 



Propriété du lieu demandé. — Le lieu des points de l'espace, dont chacun 

 est à égale distance de deux droites non situées dans un même plan, est 

 un paraboloïde hyperbolique droit ayant pour plans directeurs les deux 

 plans bissecteurs ^ des angles formés par ces deux droites. 



Démonstration. ■ — La circonférence {fig. G) dont le rapport des dis- 

 tances de chaque point aux deux points D, D' est égal à A, et que nous avons 

 considérée dans le cas précédent, se réduit, pour A = 1 , à la perpendicu- 

 laire al élevée par le milieu X de DD'. Le cylindre vertical projeté dans 

 celte circonférence, se réduit donc ici au plan perpendiculaire élevé par 

 le milieu de DD'. Ce plan perpendiculaire , projeté en al, est coupé par les 

 deux plans bissecteurs B,B' en deux droites que nous désignerons par â, 9 



* Par plans bissecteurs des angles de deux droites non situées dans un nifime plan , nous ontcn- 

 dons les deux plans menés par la plus courte distance entre ces droites et sur chacun desquels ces 

 droites sont également inclinées. 



