ñ MÉMOIRE 
les questions difliciles sous plusieurs points de vue. Mon mémoire se 
compose de quatre paragraphes, dans lesquels je considère successive- 
ment les séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples en- 
tiers d’un arc proportionnel à la variable, les séries ordonnées suivant 
les sinus et cosinus des arcs obtenus en multipliant la variable par les 
racines réelles et positives d’une équation transcendante convenablement 
choisie, les séries qui ont leurs termes proportionnels aux fonctions ordi- 
nairement représentées par V,, les séries ordonnées suivant les fonctions 
Y, et X,. Chacun de ces paragraphes est précédé d’une introduction dans 
laquelle j'expose l’état de la question et les principaux résultats que j'ai 
obtenus, ce qui me dispense d'entrer ici dans de plus grands détails à ce 
sujet. Enfin, dans une note annexée au mémoire, je donne une démons- 
tration nouvelle du théorème de M. Cauchy, par lequel on ramène la 
condition de convergence de la série de Maclaurin à celle de la conti- 
nuité de la fonction qu'il s’agit de développer. On connaît toute l’impor- 
tance de ce beau théorème, mais on sait aussi qu’on n’a pas jusqu'ici 
fixé d’une manière nette les termes suivant lesquels son énoncé doit être 
interprété, de même qu’on n’a pas examiné ce qui arrive lorsqu'on donne 
au module de la variable la valeur même pour laquelle la fonction de- 
vient discontinue; or, toutes ces difficultés se trouvent levées par la mé- 
thode qui me sert à établir le théorème. 
Avant d'entrer en matière, il ne sera pas inutile de rappeler quelques 
propositions relatives aux séries et aux intégrales définies, dont les prin- 
cipales ont été données par Abel, dans son célèbre mémoire sur le binôme 
de Newton (voyez tome I de ses OEuvres complètes), et qui nous seront 
fort utiles dans la suite. 
Leuxe I. 
représentant n nombres réels quelconques, et 
D'OR PEE: P € 
