0) MÉMOIRE 
Remarque. La démonstration du lemme énoncé plus haut, ne reposant 
nullement sur ce que p et n sont finis, on peut supposer ces deux nom- 
bres infinis deux termes consécutifs des suites 
ayant alors généralement une différence infiniment petite; on obtient ainsi 
la proposition suivante relative aux intégrales définies, et qu’il serait très- 
facile d'établir directement. 
Leume IL. Si l'intégrale définie 
J'(a dr, 
a 
dans laquelle f(x) est une fonction finie quelconque, reste comprise entre les deux 
limites À et B quand x varie de à à b, l'intégrale 
PACECES 
dans laquelle 4(x) est une fonction toujours positive, et constante ou décroissante 
lorsque x croît, reste comprise pour les mêmes valeurs de x entre Ao(a) et Bo(a). 
On peut tirer de ce lemme un grand parti pour expliquer les difficultés 
qui se rapportent aux intégrales définies dont l’æ est la limite supérieure; 
pour le moment, nous nous bornerons à en déduire les deux théorèmes 
suivants qui nous seront spécialement utiles dans la suite et qui sont les 
analogues de deux autres relatifs aux séries indiqués plus haut. 
Tuéorème VI. Si l'intégrale 
mA in ha 
est finie et déterminée pour une valeur positive x, de x, cette même intégrale sera 
finie et déterminée pour toute valeur x, de x qui donnera m* < m*, c’est-à-dire 
X, € x, quand m est > Let x, > x, quand m est < 1. 
Tuéonème VIL Si l’on pose 
Nr) — 0 m*? f(x) dx, 
a 
