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Lagrange, et plus tard avec toute leur généralité par Fourier, peuvent 
servir à représenter des fonctions ou parties de fonctions tout à fait quel- 
conques, continues ou discontinues , même infinies pour certaines valeurs 
de la variable. Une autre propriété non moins importante dont jouissent 
aussi les mêmes séries, c’est qu'elles sont toujours convergentes. Cette se- 
conde propriété avait été facilement aperçue à l'égard des différentes séries 
particulières que l’on avait eu occasion de considérer, mais elle est restée 
longtemps sans démonstration complète; c’est M. Cauchy qui, le premier, a 
cherché à l’établir d’une manière générale, dans un travail qui fait partie 
des Mémoires de l’Académie des sciences de Paris, pour l’année 1823; 
la démonstration de l’illustre géomètre est assez simple, malheureusement 
elle pèche en plusieurs points, et d’ailleurs ne s'applique pas à toutes les 
séries de la forme considérée. M. Lejeune Diriklet s’est ensuite occupé de 
la question, dans le tome [V du Journal de M. Crelle, et, plus heureux que 
M. Cauchy, est parvenu à la résoudre par une méthode à la fois très-élé- 
gante et très-simple. Le tome IV du Journal de M. Crelle contient encore 
un travail sur le même sujet de M. le professeur Dirksen ; la convergence 
des séries trigonométriques y est démontrée d’une manière rigoureuse, 
mais on n'y fait pas voir, ce qui est nécessaire, que la somme de la série 
est précisément la fonction qu’il s’agit de développer. Du reste, on peut 
remarquer qu'en combinant le résultat de M. Dirksen avec la démons- 
tration que Poisson a donnée, tome XIT, pag. 455 du Journal de l'École 
polytechnique, la question se trouve complétement résolue. 
En effet, Poisson démontre que pour toutes les valeurs de 4 positives 
et inférieures à 4, on a 
b b 
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1—22 2 (x) du = nr (x— 
7 9 ; Ê 7 GE) — 3 f{&) du + er a" cos. = f{&) due, 
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