SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 11 
à mesure que « s'approche indéfiniment de l’unité en lui restant constam- 
b— a 
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rème II (voyez plus haut), que si la série 
b 5 n= 2 nr \L—4 
sf [(&) de + [CZ cos. nee) f (a) de 
, à (b—a) , 
est convergente , elle aura nécessairement pour somme — f(x). 
ment moindre, est 
[{æ) (); de là résulte, d’après le corollaire du théo- 
Nous donnerons, dans ce paragraphe, une démonstration nouvelle de 
la convergence des séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des mul- 
tiples entiers d’un arc proportionnel à la variable, plus simple encore que 
celle de M. Diriklet; elle repose sur la proposition relative aux intégrales 
définies qui a été énoncée plus haut (lemme Il); proposition importante 
et dont nous aurons occasion de nous servir dans plusieurs circonstances. 
1. Soit f(x) une fonction de x, soumise à la seule condition d’avoir en- 
tre deux limites données a et b une valeur constamment finie et réelle, et 
admettant la possibilité du développement, posons 
97x F. 
ASC Ce 
d E d 
T 
… GE .… 27x Gr 
+ B, sin. ni + B, sin. A + B, sin. 
À a 
rx 
f(x) = À + À, cos. = + À, cos. 
€ 
“ , .rp! b—a . : . 5 Ê 
où d représente la différence — il sera très-facile de déterminer les 
coefficients À,, À,, B,. En eflet, si, après avoir remplacé x par 4 et mul- 
tiplié les deux membres par dy, on intègre de a à b, il vient d’abord 
{l b 
A = fl red: 
(‘) Ce second point de la démonstration de Poisson laisse peut-être à désirer, mais on peut 
facilement y apporter toute la rigueur désirable; on voit même très-aisément que lorsque f(x) est 
discontinue pour la valeur de x que l'on considère, la limite, au lieu de 
ba, b—a =: * 
D fo), est (fte+e) 2 la 0), 
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e étant un infiniment petit positif. 
