SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 15 
en une série d’autres ayant respectivement pour limites h et {, Let l', l'et 
l', .... 1" et k, toutes ces intégrales partielles tendront vers la limite zéro, 
à mesure que » croîtra; donc il en sera de même de l'intégrale totale 
k 
sin. n4 
p(x) da. 
e sin, æ 
A 
6. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les deux limites 4 et 
k de l'intégrale étaient l’une et l’autre inférieures à —, mais il est encore 
9 ? 
possible de généraliser sous ce rapport le résultat que nous avons obtenu. 
Je dis que l’on a toujours 
k 
* sin. nx 
= g (x) dx —= 0 ; 
SIN. x 
h 
pour a = æ , si entre les deux limites k et k, il ne tombe aucune valeur 
de « qui rende sin. x égal à zéro. 
En effet, appelons à le plus grand multiple de 7 contenu dans A (i peut 
être négatif), de telle sorte que l’on ait À —ir + h/, h! étant positif et in- 
férieur à +, et posons 4—ir +- #/; l'intégrale proposée reviendra, abstrac- 
tion faite du signe, à 
k 
sin. n& ns 
—, plir+a)\dz, 
sin x 
4 
k! représentant la différence k—ix; et il suffira de faire voir que cette 
dernière intégrale a zéro pour limite, à mesure que n croit. Or, si h’ et k' 
sont inférieurs l’un et l'autre à Z, le plus grand 4 de ces nombres pou- 
vant atteindre cette limite, la chose a été démontrée; si L! et k! sont tous 
les deux supérieurs à7, le plus petit de ces nombres pouvant égaler _ 
comme le plus grand de ces deux nombres sera en même temps inférieur 
à 7, Sans quoi il y aurait entre k' et k', par suite entre À et k, une valeur 
de # qui annulerait sin. +, on rentrera dans le cas précédent en changeant 
