SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 27 
être suivies pour trouver u : la première est celle qu'emploie Fourier 
dans sa théorie de la chaleur. Elle consiste à remarquer que l’on satisfait 
immédiatement aux équations (1) et (2) par une somme d'expressions de 
la forme AÀ,,e"" sin. =, quelles que soient d’ailleurs les constantes A. 
et m; puis à l'équation (5) en choisissant m parmi les racines de l'équation 
= 
À m X s X 
(D) NET = TCOS TL + H sin. m——0, 
a (4 a 
racines qui sont toutes réelles, égales deux à deux et de signes contrai- 
res, et en nombre infini; de telle sorte donc, qu'il ne s’agit plus que de 
trouver les coefficients À, de manière à avoir pour toutes les valeurs de 
æ de o à X, l'égalité f(x) — A, sin. m 0 où le signe X s’étend à toutes 
les racines positives m,, m,, m,, .…. de l'équation (5). Or, ayant posé 
8 z À æ ë x 
f(x) = A,, Sin. m à + À,, Sin. F +... + À,,, Sin. M; 2 Most 
remplaçons x par y, multiplions par sin. m, © du et intégrons de 0 à Non 
viendra 
x. L 7 X mi aH°+ a % 
à [l&) sin. m, — du =A,, — Tr | 
(24 
F2 m2 + & HE 
tu m° + a’ 
A rm T fl ) sin. M”; Es Ghes 
2 a 
# 
; — Xm Sue "HF+ dx) 
en remarquant que, pour toutes les valeurs de j différentes de à, on a 
DE HRE 2 : e lE 1 c fe 
sin. M, — Sin. M, — du =; cos. — (m,—m,) du — + cos. — (m;+1Mm;) du 
u a a : a 
e e 
0 0 o 
a sin. > (m,—m;) a sin. ? (m,+m;) 
» er) » M, + M) 
—_( EX nt REX } 
— —— | m, sin. —M; COS. —M—M; SIN. M; COS. M; |, 0 
(mi —m) « a a « 
et que 
F4, SL X aides 2x X mi + Ju + ax 
Sn = == —— SN M=S— 
# a 2 dm, a 2  m+aH 
1 
