SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SERIES. 51 
de telle sorte qu’il reste encore à établir la convergence de la série 
9 1 2H? 7 E 
2 < mè + HU e x x k 
2 pue OU fa) Sin. m, — due, 
X m+aH'+a;: af: a 
rd 
où le signe Z s'étend à toutes les racines positives de l'équation (5), et 
même à faire voir que la somme de cette série est f(x). M. Liouville a 
essayé de combler cette lacune qui se présente dans les démonstrations 
de tous les développements considérés en physique mathématique; nous 
parlerons , dans le paragraphe suivant, en considérant des séries plus com- 
pliquées, de cet important travail. Dans le paragraphe actuel, nous ne nous 
occuperons que de la méthode de Poisson, et nous montrerons que l'ar- 
tifice sur lequel cette méthode repose, peut conduire à une démonstra- 
tion rigoureuse des différents développements de sinus et cosinus employés 
jusqu'ici. 
7. Nous ne devons pas, avant d'entrer en matière, oublier de mention- 
ner un mémoire de M. Liouville, inséré dans le tome I", page 17 du Journal 
de mathématiques, et dans lequel cet illustre géomètre à repris lartifice de 
Poisson et a montré avec beaucoup de lucidité que la combinaison de cet 
artifice avec la formule par laquelle Fourier représente, au moyen d'une 
intégrale double, une fonction arbitraire d’une seule variable, devait né- 
cessairement conduire à tous les développements de sinus et cosinus. 
Le travail de M. Liouville nous servira de guide dans ce qui va suivre: 
comme dans ce travail, nous ne nous occuperons que du développement 
des fonctions, sans avoir égard à la question physique qui a pu conduire 
à ces développements; seulement nous apporterons à l’artifice de Poisson 
les modifications et les compléments qui nous ont paru nécessaires pour 
le mettre à l'abri de toute objection. 
8. Soient k et k deux nombres positifs déterminés, on a évidemment 
Les ” 20 12 
f e= hy f(y) [ f° er ke cos. z (x—y) d:| dy + £ ehy f (y) [ f e—kz cos. (x —y) dz | dy 
== f e if 
Fa 
e=hy cos. z(x—y) f\y) dy + if ehy cos. z (x —y) f(y) dy |. 
