SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 29 
et admettons provisoirement : 1° que la série (c) soit convergente ; 2 que 
l'on puisse donner à /, une valeur assez grande, pour que la valeur de 
m soit, indépendamment de toute valeur attribuée à A, inférieure à tout 
nombre assignable. On prendra !, assez grand pour que m et m' soient 
l'un et l’autre, et indépendamment de toute valeur attribuée à k, inférieurs 
à 2, en valeur absolue; puis, /{, étant ainsi déterminé, on fera décroître h, 
de façon que la différence 
LEA ET ” f A) LA PET n= "nt ni = 
‘a _- AL Dre D à D" nn, PV (PV) 
PU+zVET pes V=T) *E # (PnV—1) 
JT 
2 
e 
o 
: : : è : : o ; ; 
devienne moindre aussi que +, ce qui sera toujours possible, /, étant dé- 
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terminé; on aura alors pour la différence existante entre l’intégrale (a) et 
la série (c), une quantité moindre que à, c’est-à-dire, aussi petite qu’on 
voudra, et il sera établi que la série (c) est la limite de l'intégrale (a) ou 
de la série (b). Ainsi tout consiste à démontrer les deux propriétés admises 
ci-dessus. Or, d’abord la convergence de la série (c), ou, ce qui est suffi- 
sant (théorème IT de l'Introduction), celle de la série 
(PR RU à 7 Le en Vs A) 
Fo g' (pu V1) 
se vérifie facilement dans chaque cas particulier; du reste, M. Liouville a 
démontré la convergence d’une classe de séries qui comprennent la série 
(d) comme cas particulier, ainsi que cela sera indiqué dans le paragraphe 
suivant, et on n’a qu'à employer sa démonstration. Passons à la seconde 
propriété. Il s’agit de faire voir qu'il est toujours possible de trouver une 
valeur de {, assez grande pour que, quel que soit h, l'intégrale 
1 yes que #7) ÿ (—h+z V 1 
3 CR —— — — |dz 
g (az V —1) r( h+zV—1) 
! 1 
puisse devenir inférieure à tout nombre assignable, Remarquons pour cela 
