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MÉMOIRE 
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DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS OU PARTIES DE FONCTIONS, EN SERIES DONT 
LES DIFFÉRENTS TERMES SONT ASSUJETTIS A SATISFAIRE A UNE ÉQUATION 
DIFFÉRENTIELLE DU SECOND ORDRE, CONTENANT UN PARAMÈTRE VARIABLE. 
1. Nous avons vu, dans le paragraphe précédent, qu’il existait deux 
méthodes générales pour résoudre les questions relatives au mouvement 
de la chaleur dans les corps solides, conduisant l’une et l’autre à l’ex- 
pression de la température sous forme de série. L’une de ces méthodes 
est celle que Poisson a employée dans le 19 cahier du Journal de l'École 
polytechnique. Elle consiste à partir directement de l'intégrale générale, 
sous forme finie, de l'équation aux différentielles partielles qui se rapporte 
au problème considéré. La fonction arbitraire renfermée dans cette inté- 
grale représente, dans le cas les plus simples, la température initiale des 
points du corps; dans des cas plus compliqués, elle dépend seulement de 
cette température, de manière qu'elle est toujours déterminée pour tous 
les points du corps, et, au contraire, entièrement arbitraire pour tous les 
autres points. Cette indétermination d’une partie de la fonction arbitraire 
contenue dans l'expression générale de la température, permet de satis- 
faire aux conditions qui se rapportent aux limites du corps, et on trouve, 
en exprimant ces conditions, des équations dont la résolution conduit à 
une définition complète de la fonction arbitraire; mais, sans résoudre ces 
équations on peut, plus simplement, par Femploi d’un artifice très-ingé- 
nieux, éliminer de l'intégrale la partie inconnue de la fonction arbitraire ; 
on arrive ainsi à n'avoir plus dans l'intégrale que la partie de cette fonc- 
tion qui est immédiatement donnée par la question, et le résultat est une 
série d’exponentielles dont les exposants essentiellement négatifs contien- 
nent le temps comme facteur et dont les coefficients sont indépendants 
du temps. : 
2. Nous nous sommes occupé dans le paragraphe précédent de cette 
méthode, et nous avons montré que l’artifice sur lequel elle repose, 
fournit une démonstration rigoureuse du développement des fonctions en 
