SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. DD 
sorte que l'équation (4) soit satisfaite, ou que l’on ait 
f(x) = QG Vi + CG Vo + CG Vs + AVE cree 
5. Or, admettant cette égalité, multiplions-en les deux membres par 
gN,dx, et intégrons de x, à X, il viendra 
mi 
ax à 
x e JV, f(x) dx. 
x À q Ve f(x) dx =C, YA q \ 2 dæ, d'où CE — — ER; 
To To ; [ 4N,2dx 
car, ainsi qu'on le démontre aisément, au moyen des équations (5), (6) 
et (7),ona 
x 
MAR ET 
toutes les fois que les deux entiers m et n sont diflérents. 
L'égalité ci-dessus deviendra donc 
V, J 9V, fe) dx 
n= © 
fa) = 3 
n—1 
2 X 
J'INE dx 
To 
on aura aussi 
x 
Vie rat f° gN, [ (x) dx 
n= ao 
ns: T9 V2 
u — 
6. On voit que l’on est conduit à développer la fonction f(x) donnée 
arbitrairement entre les deux limites x, et X en série ordonnée suivant les 
fonctions V,,; toutefois le raisonnement par lequel nous avons établi ce 
développement n’est pas rigoureux; en effet, il prouve seulement qu’en 
admettant la possibilité de développer f(x) en série de la forme 
ON RGVa CVs Ca 9 
on à nécessairement 
Lg l'(e) de 
{ —— 
Im = pis q:. ne 
