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il faut donc encore démontrer la convergence de la série 
ps 
V, J , f(x) dx 
n=> mé 
COR OR TN me 
J gV de 
et faire voir que la somme de cette série est f(x). M. Liouville s’est oc- 
cupé avec succès de cette double question ; il a démontré rigoureusement 
et d’une manière générale la convergence de la série (a), dans deux beaux 
mémoires insérés dans le tome IT du Journal de mathématiques, pag. 16 et 
418. Sa démonstration consiste à calculer V, pour de très-grandes valeurs 
de n, et à faire voir que les termes de (a) coïncident alors sensiblement 
avec les termes d’une série ordonnée suivant les sinus et cosinus des mul- 
tiples entiers d’un arc proportionnel à x. Antérieurement M. Liouville avait 
donné, dans le tome [*, pag. 255 du même journal, une démonstration 
ou plutôt une méthode fort simple et fort élégante pour établir que la 
série (a) supposée convergente, ne pouvait avoir pour somme que f (x). 
Voici cette démonstration. 
7. On s'appuie sur un beau théorème dû à M. Sturm, d’après lequel 
l'équation 
SET : 
CV, + Ga Vnga + ce + Ci Naim = 0, 
où C,, Cyyas . Cysn Sont des constantes, ne saurait avoir ni plus de 
n + m— 1 racines, ni moins de m— 1, entre les limites x, et X; et on 
en déduit d’abord l'existence d’une équation de la forme, 
GNr1GNa +0 MONS EG UN, 008 
n\n 
ayant entre x, et X, n nombres donnés a, b, c, …. pour racines. Pour cela 
on pose 
2 (æ) — Via) Vi(x) = P:(x) 
V,(a) X 
Via) Vs(t) — Via) Vi(x) = P:(x) 
l, (a) 
V, () Ve) — V, (a) Vi(x) = P, (x) 
