DS MÉMOIRE 
supposer successivement égal à 1, 2, 5, …. m; multipliant les égalités 
ainsi obtenues, respectivement par des constantes AÀ,, À,, …. À,,, et ajou- 
tant , il viendra 
CONS oc . J'iXtete fade = 0, 
en posant pour simplifier 
Vo AV AVa +... FrACV 
mm 
Je dis maintenant que l'égalité (8) ne peut exister , à moins que la diffé- 
rence o (x) —f(x) ne soit identiquement nulle de x, à X. En effet, suppo- 
sons le contraire, et appelons a, b, c,.…. l les valeurs de x comprises entre 
æ, et X pour lesquelles $ (x) — f(x) s’annule et change de signe. Choïisis- 
sons YŸ de façon que l'équation Y— 0 ait entre x, et X les mêmes racines 
a, b, c, …. let point d’autres; dans ce cas, Yet o(x) — f(x) changeront de 
signe en même temps, et comme g est positif, l'élément gY [o (x) — f (x) ]dx 
aura toujours le même signe entre x, et X, donc l'intégrale 
PAECENOIE 
ne pourra être nulle. 
9. Cette démonstration est, comme l’on voit, extrêmement simple, mal- 
heureusement elle n’est pas, je le crois du moins, entièrement rigou- 
reuse; elle repose sur ce que l'équation 9(x) — f(x) — 0 ne peut admettre 
entre x, et X qu'un nombre fini de racines, si l’on n'a pas identique- 
ment o(x)— f (x); or, on sait qu’il existe des fonctions qui, sans être nulles, 
admettent dans un intervalle très-petit autant de racines qu’on le veut, 
par exemple, la fonction sin. — admet dans le voisinage de a un nom- 
bre infini de racines. Ainsi, malgré le travail, très-important d’ailleurs de 
M. Liouville, la méthode basée sur la considération des intégrales parti- 
culières par laquelle on établit le plus ordinairement les développements 
des fonctions, laisse à désirer du côté de la rigueur, et si l’on veut être 
entièrement rigoureux, on est obligé de revenir au procédé de Poisson 
qui, quoique d’une application plus restreinte, peut du moins être mis à 
