64 MÉMOIRE 
Faisant encore tendre k vers zéro, rétablissant dans V le facteur "+" et 
remarquant que la limite de l'inégrale 
AUS 
82 + (y — x cos. w)? 
est 
z fi (x cos.«), en posant (y) + f(—y) = fi (y), 
ou bien 
ZE fi(æ cos.o + €) + fi(rc0s.o—e)] 2 
: étant infiniment petit, quand f(x) est discontinu; il vient enfin 
FT, on 4 = 
rt 1 fi (x cos.)sin." oo —= È Nec EVER 
d g(zV—1) 
d’où l'on peut conclure que la fonction de x, représentée par 
T 
Tu f fi (æ cos. «) sin.®"+? do, 
AC 
est développable en série convergente, dont les termes sont proportion- 
nels aux valeurs que prend V, quand on y remplace z par les racines de 
l'équation 9 (z V1) = 0, ou de l'équation (10), car on peut remarquer 
que ces deux équations coïncident. 
On voit que le résultat relatif à la possibilité du développement en 
série suivant les fonctions V, porte sur la fonction 
ati f[” fi(æcos.o)sin "+! odo, 
et non pas sur la fonction f(x) que nous nous étions donnée; mais comme 
l'intégrale 
“En | fi(weos. o) sin "#1 ado 
0 
représente une fonction de x tout à fait arbitaire [ voyez un mémoire de 
M. Liouville, inséré dans le 24° cahier du Journal de l'École polytechnique, 
page 55, et dans lequel on trouve la valeur de la fonction f, qui satis- 
fait à l'équation 
F(s)= ati fl Tfi(æeos. o)sin "+ ods], 
