SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. C5 
il n’en reste pas moins démontré, comme nous nous étions proposé de le 
faire, qu'il est toujours possible de développer une fonction de x, donnée 
arbitrairement entre les limites o et /, en série de la forme 
VON ONE 
VOD EN SE étant les valeurs que prend successivement la fonction 
2 
Ta jf cos. (rx cos. &) sin." +" «de, 
lorsqu'on y remplace x par les différentes racines positives de l'équation 
(10). 
Quant à la détermination des coefficients, on peut y parvenir soit par 
la méthode directe indiquée au commencement de ce paragraphe, ou bien 
encore la déduire des considérations précédentes. 
$ EV. 
DU DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES ORDONNÉES SUIVANT LES 
FONCTIONS Ÿ,. 
Nous allons, dans ce quatrième paragraphe, donner une démonstration 
nouvelle et assez simple de la convergence des séries ordonnées suivant 
les fonctions Y,, et qui servent à représenter entre certaines limites des 
fonctions arbitraires de deux angles 9 et 9. On sait que les fonctions Y, 
n? 
introduites dans l'analyse par Legendre, sont d’un très-grand secours 
dans plusieurs théories importantes, en particulier dans la théorie de l'at- 
traction des sphéroïdes et dans celle de la figure des planètes; parmi les 
nombreuses propriétés dont jouissent ces fonctions, une des plus remar- 
quables consiste en ce que toute fonction des deux angles 0 et v, donnée 
arbitrairement entre les limites 9 — 0 et 0—7, ÿ— 0 et 9 —2r, et assu- 
jettie à la seule condition de ne pas devenir infinie entre ces limites, peut 
toujours être développée en série convergente ordonnée suivant les fonc- 
tions Y,. C’est à Laplace que l’on doit cette importante proposition; il y 
Tome XXII. 9 
