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cette égalité a lieu pour toutes les valeurs de 4 et de 9 comprises entre 
les limites 6—0, 0= 7x et p—0, p— 27, et la fonction f(9, 9) dont elle 
donne le développement, est assujettie à la seule condition de ne pas de- 
venir infinie. Quand le système de valeurs attribuées à 6 et + rend (9, o) 
discontinue, le premier membre qui n’a plus alors aucun sens précis, 
doit être remplacé par la valeur moyenne de la fonction /(9, +) répondant 
au système des valeurs de 4 et de + considérées. Voici, d’ailleurs, ce que 
l'on entend par valeur moyenne d’une fonction discontinue : d’abord, dire 
qu’une fonction f(9, +) est discontinue pour un système de valeurs de 9 
et © répondant à un certain point À de la sphère S, c’est admettre évi- 
demment que la limite vers laquelle tend f (9, +) à mesure qu’on s’appro- 
che indéfiniment du point À, en suivant une certaine ligne tracée sur la 
surface S et issue du point À, est variable avec la position de cette ligne 
qu'on peut toujours supposer être un arc de grand cercle dans le voisi- 
nage du point À; cela posé, soit o l'angle variable qu’un arc de grand cer- 
cle quelconque AM issu du point À, fait avec un autre arc de grand cercle 
fixe AB issu du même point À, appelons F(«) la limite vers laquelle tend 
la fonction f(5, +), quand on s'approche indéfiniment du point À en sui- 
vant la ligne MA, l'intégrale 
nude 
27, 
sera ce que l’on appelle la valeur moyenne de la fonction f(0, +), relative 
au point A. 
Il est presque inutile de dire que lorsque /(9, $) n’est pas discontinue 
dans le voisinage du point À, il y a égalité entre la valeur moyenne et la 
valeur propre de la fonction en ce point. 
4. Pour démontrer l'égalité (c), nous chercherons à sommer la série 
T— pos 27 ; 
(CS 2, (m+ 1) f° sin. 6' dÿ” 7 P,f(#",p )d?'; 
o (2 
à cet effet, nous considérerons d’abord la série 
A= AE f F 227 . n r ñ 
(ONE ee ET En+0e f° sin. su f° P, f(2", #')'d? 
0 
è 
