72 MÉMOIRE 
conclure que la limite vers laquelle tend l'intégrale simple 
nf fi (3, ©) sin.vdy 
J (1+4+ON°—920Nc0s.y} 
est égale à f,(0,«), et, par conséquent, que celle vers laquellé tend l’in- 
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(A+20N f Hy Re ER 
6 # (1+ ON°—20N cos. y)? 
2 [fi(0, &) de, 
tégrale double 
est 
c'est-à-dire le produit par 4x de la valeur moyenne de f(9, ©) au point A. 
8. Il nous reste, et c’est là la principale difficulté de la question, à 
démontrer la convergence de la série (d). 
Transformons d’abord le terme général 
iT 2T 
(2n+1) f sin. #4 / P,f(',#)ds 
de cette série, en substituant aux variables 6! et S’ les variables ; et w, dont 
on à fait usage dans les deux numéros précédents, il viendra, en observant 
que P, s'exprime au moyen de > seulement, 
T TT 
(On + nf Pnouf fibro)ds 
ou bien 
T 
hi. Le RAS : @r+n f P, F(r) sin. ydy, 
en posant pour simplifier 
HE (», 0) de = F (7); 
o 
faisons encore cos. y = #, et appelons X, ce que devient P, et 4 (x) ce que 
