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SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. Te 
devient F(}), nous aurons 
RERO. PNR nn) PUR, se) de, 
2; 
comme seconde valeur du terme général de la série qui, dans ce qui va 
suivre, sera employée concurremment avec la valeur (4). 
9. Avant d'aller plus loin, il est nécessaire de faire remarquer une pro- 
priété très-importante des fonctions F (>) et o(x) : ces deux fonctions, qui 
peuvent présenter un nombre fini quelconque de solutions de continuité 
entre les limites o et 7, — 1 et + 1 des intégrales où elles entrent, ne 
peuvent jamais être discontinues pour ces limites mêmes. Ainsi, par exem- 
ple, F(7) ne saurait être discontinu pour } = 0 : pour le voir clairement, 
on remarquera d’abord que F (o) est égal 1 f1(0, w) do, c’est-à-dire à 
la valeur moyenne de f,(,w) pour le point À; or, on peut évidemment 
toujours tracer autour du point À, un cercle assez petit pour que, dans 
son intérieur, il n’y ait pas d'autre discontinuité pour la fonction /, (y, w) 
que celle qui peut avoir lieu au point A; alors f,(y, w) sera ses près que 
l’on voudra de f,(0, ), quel que soit Haies w3; par suite de (7, ©) do 
sera aussi près que l’on voudra de de (0, w) du. 
10. Cette propriété étant admise. appelons : un nombre déterminé as- 
sez petit pour que entre — { et —1 +2, et entre 1—:et 1, il n’y ait 
aucune solution de continuité de la fonction 4 (x), nous pourrons décom- 
poser l'intégrale (k') de la manière suivante : 
—1ŸE€ I— Ë Ll 
(2n + of X, (x) dx + (2n+1) f X,,#(x) dx + (2n+ n f° X, e(x) dr, 
—, —1+E€ 1— € 
et tout consistera à prouver que les trois séries dont les termes généraux sont 
respectivement les termes de la somme précédente, sont convergentes, ou 
plus simplement, que les séries dont les termes généraux sont respectivement 
RATE 1—E 
nf X,z(x)dx, n X, (x) dx, nf X,o(x) dx, 
—\1 rs Îre 
sont convergentes (théorème I de l'Introduction.) 
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