SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 75 
est aussi convergente. Pour cela remarquons que la série 
3, (eXs—Xn4i), 
qui est convergente, avons-nous dit pour x = — 1 + :, l’est aussi pour 
æ— —1 () : en effet, ses différents termes se réduisent à zéro pour cette 
hypothèse; il est donc possible de fixer un nombre À que ne dépasse jamais, 
en valeur absolue, la somme 
n=n 
2, (zX, = Xn+44) , 
= 
quel que soit x et quel que soit æ de — 1 à — 1 + <. Cela étant, on voit 
aisément que l’intégrale 
re n=n 
fra ex ar 
EU 
est, quel que soit n, aussi près que l’on veut de zéro, en ayant soin de pren- 
dre : suffisamment petit (il faut pourtant que (x) ne change de signe, ou 
que #(x) ne devienne maximum ou minimum, qu'un nombre fini de fois 
entre — 1 et —1 +6); il suffit de décomposer cette intégrale en une 
série d’autres, de façon qu'entre les limites de chacune 4/ (x) ait toujours 
le même signe, puis d'observer que chacune de ces intégrales partielles 
est en valeur absolue moindre que À multiplié par la différence des va- 
() La série 37 (2X,—X,,,) est convergente pour x= +1 comme pour x — Æ (1—c), 
mais la somme de cette série est discontinue pour x—1. En effet, on a pour toutes les valeurs 
de x comprises entre —1 et +1, 
ax —1 n= 
DE > = 5 (2X, -Xsspertt; 
V/1—920%2+ 0% n=o 
done, on à aussi pour les mêmes valeurs, 
H 4 r 
— : (ZXn —Xn41) ; 
{corollaire du théorème I de l'Introduction) , puisque la série du second membre est convergente; 
or, si l'on fait tendre x vers 1, le premier membre tend vers 1, tandis que le second est égal à 
zéro pour x — |. 
