SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 89 
où les sommes s'étendent tantôt aux valeurs paires, tantôt aux valeurs im- 
paires de n, seront convergentes, s’il en est ainsi lorsque les sommes s’é- 
tendent à toutes les valeurs entières de ». Ainsi, comme on l'avait énoncé, 
tout se réduit à établir la convergence des séries 
» [va cos. ny (>) dy, [va sin. 77% (y) dy, 
où ® () représente, nous le répétons, une fonction ou un produit de fonc- 
tions, indépendantes de n, ne devenant jamais infinies entre « et r—«, et 
présentant entre ces limites un nombre fini de maxima où minima, et où 
les sommes s'étendent à toutes les valeurs entières de ». Nous allons pour 
cela évaluer d’abord les deux sommes 
n=n COS. ny SL sin. ny 
n—A Va 1 R=i Vn 
18. Or, on a 
1 1 1 ! 
RE =) — 
LE t Va 
0 
d’où 
d’où 
n=n COS. ny 1 1 _1/f1\ cos. — x — x" cos. (n + 1) y + x"+! cos. ny 
D PE 0 [2 = dx , 
ë 
n=1 4 TE 
s "=" sin. ny 1 1 _. ( sin. y — 2" sin. (n + À)9 + 2"+' sin. ny ; 
PERLE 3 [— | dæ ; 
LOT 47 TE x À + 22 — 9x cos.y 
différentiant par rapport à y et ne développant les calculs que pour les 
1 + 22 — 97 cos. y 
termes dépendants de n, il vient 
il 1 1 [4 \ 9%"+? sin. y cos. ny — 2x" *‘ sin. y cos. (n+1)y 
VA sin. ny = — [3 |- = - dx 
JP TH æ (1+ 2? —- 2x cos. y)? 
o 
1 1,4 (1\—(n+1)z" sin. (n +1) 7 + næx"*t sin, ny 
+ — (RE 3 —— dx + k 
T£ æ A1 + 22 — 9x cos. y 
Tome XXII. 12 
