94 MÉMOIRE 
NOTE 
Sur le développement ordonné suivant les puissances ascendantes et entières de la 
variable. — Démonstration nouvelle du théorème de M. Cauchy. 
Parmi les développements en nombre infini qui peuvent servir à re- 
présenter les fonctions, le plus simple est le développement ordonné 
suivant les puissances ascendantes entières et positives de la variable. Il 
consiste dans l'égalité suivante : 
a? x" 
deg ue sine Et RC 
Cette formule, que l’on doit à Maclaurin à, d’abord été admise pour toute 
espèce de fonctions et pour toutes les valeurs de la variable; mais on a 
bientôt reconnu la nécessité d’en restreindre la généralité, en remarquant 
que, dans certains cas, la série du second membre était divergente. On a 
alors cherché l'expression du reste de la série, et de cette manière, il a 
été possible de légitimer dans les applications l'emploi de la formule; 
toutefois la question n’était pas encore complétement épuisée; il restait 
en eflet à trouver des caractères généraux propres à reconnaître si le dé- 
veloppement indéfini pouvait ou non être substitué à la fonction. C’est ce 
qui à été fait par M. Cauchy. Dans un travail publié à Turin en 1851, 
et plus tard, dans différents mémoires insérés dans les Nouveaux exercices 
de mathématiques et dans les Comptes-rendus de YAcadémie des sciences 
de Paris, l’illustre géomètre a démontré le théorème suivant : 
Toute fonction f(x) de la variable réelle ou imaginaire x, est développable en 
une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes entières et posi- 
tves de x, si le module de cette variable conserve une valeur inférieure à celle 
pour laquelle la fonction ou sa dérivée cesse d'être finie et continue. 
Nous allons donner de ce beau théorème une démonstration nouvelle, 
qui nous permettra de fixer d’une manière nette les termes suivant les- 
quels son énoncé doit être interprété, en même temps qu'elle nous fera 
