SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 95 
connaître quelques modifications qu'il est indispensable d'apporter à cet 
énoncé (‘). 
1. Remarquons d’abord que pour qu'une fonction f(x) soit dévelop- 
pable en série convergente, d’après la formule de Maclaurin , il ne suffit 
pas qu’elle soit numériquement connue pour une suite de valeurs réelles 
de la variable, comme, par exemple, les fonctions considérées dans le 
mémoire précédent; il est nécessaire que la fonction f(x) soit donnée al- 
gébriquement et que l’on connaisse les opérations générales au moyen 
desquelles on déduit cette fonction de la variable æ. En effet, il serait, 
sans cela, impossible de se faire une idée des dérivées sucessives 1), 
f!" (x), f'!"(æ), … et, par suite, des termes qui entrent dans le développe- 
ment de Maclaurin. Cela étant, nous regarderons la fonction proposée 
comme définie pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de +, et nous 
poserons 
fre) æ p (7,0) + VA ÿ (r, 0), 
o et Y représentant des fonctions réelles parfaitement déterminées, quelles 
que soient les valeurs réelles attribuées à r depuis o jusqu’à l’æ , et à 9 
depuis o jusqu’à 2x, mais pouvant admettre, chacune, plusieurs et même 
une infinité de valeurs pour chaque système de valeurs attribuées à r et 
à 9. Or, je dis en premier lieu, que s’il existe des valeurs réelles et po- 
sitives de x pour lesquelles le développement 
2? 
WEAR Er Probe + fT(0) ——— + 
soit convergent et égal à f(x), il devra, parmi les différentes valeurs de 
f(reV=+), s'en trouver une qui soit continue par rapport à » et à 6 pour 
toutes les valeurs de r inférieures à une certaine limite, et qui se réduise 
à f(r) lorsqu'on fera 6— 0, 6—2x; de manière que l'existence de cette 
valeur est une première condition sans laquelle la fonction f(x) ne saurait 
être développable suivant la série de Maclaurin. Pour démontrer ce pre- 
() On peut lire avec intérêt, à ce sujet, deux mémoires de M. Ernest Lamarle, et un mémoire 
de M. Cauchy, insérés dans les tomes XI et XII du Journal de mathématiques de M. Liouville. 
