SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 97 
et par suite f, (r) + V1 £, (x) ou f (r) pour une valeur réelle et positive; au 
contraire la série 
2 n 
C/O) Mer NC 
Flo) + f' (0) + f'(o) = 
ne pourra être convergente lorsque x aura un module supérieur au plus petit des 
deux nombres R et R', quel que soit l'argument, elle sera même nécessairement 
divergente pour la valeur o ou 27 de l'argument, c’est-à-dire lorsqu'on supposera 
la variable réelle et positive; enfin, quand le module de x sera égal au plus petit 
des nombres R et Re, la série sera généralement convergente, cependant il y a 
des exceptions; du reste, on s'occupera en détail de ce cas un peu plus loin. 
Tel est le sens que nous donnerons à l'énoncé du théorème de M. Cauchy. 
Il faut maintenant nous occuper de la démonstration. 
5. Supposons que r ne reçoive que des valeurs pour lesquelles les deux 
fonctions ç(r, 8), 4 (r, 8) restent toujours finies et continues, quelle que 
soit d’ailleurs la valeur donnée à 5 de o à 27; on pourra, d’après ce qui 
a été démontré dans le K 1° du mémoire précédent, développer ces fonc- 
tions en séries convergentes de la forme suivante : 
o (7, 8) = &o + & cos. 0 + @ cos. 20 + …... + a, cos. nô + 
+ dj sin. 4 + a sin. 26 + + 4, Sin. n0 + ..... 
ÿ (7,6) = + b, cos. 0 + b, cos. 23 + ..….. + b, cos. n9 + ..... 
+ D, sin. 4 + D! sin. 20 + NDONSIN. NÉE... 
et l’on aura, quel que soit , 
Î 27 4 27 £ 
a, —= = 0 # (r, 6) cos. nôd8, a, — = ff  (r, 8) sin. np, 
o o 
1 27 4 2T : 
= V0 ÿ (r, 0) cos. n4d0, b' — 1 à y (r, 6) sin. n0d0. 
F r T. 
[2 [22 
A ces valeurs des coefficients, on peut dans le cas actuel, en substituer 
d’autres : en effet @(r,6) et b(r, 0) sont des fonctions continues de 6, il 
est donc permis d'appliquer aux intégrales le procédé de l'intégration 
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