SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 101 
Ainsi r étant inférieur à RetR',ona 
CU — — n2 291 
ed + Vpn, 0) = f (re) 2 fo) à fo) re po) + 
7 eV 
+ f" (0) ne = ses 
et la première partie du théorème de M. Cauchy est démontrée. 
5. Admettons maintenant que r atteigne le plus petit des deux nombres 
R et R’, c’est-à-dire le nombre R, car évidemment R’ ne peut surpasser 
R ; l’une des conditions 
ne pouvant cesser d’être satisfaite, sans que l’une des fonctions $(r, 8), 
y (r, 6) devienne par cela même discontinue, par rapport à r; et voyons 
si dans ce cas, l'égalité 
g (r, 6) + VA y(r,6) 0e) — f (0) + f’ (0) re Vs + f!" (0) CT Ses ae 
pre 
4.2.3....n 
subsiste encore. 
Je remarquerai avant tout que la discontinuité que l'on suppose avoir 
lieu à l'égard de l’une des fonctions o(r, 6), d(r,6), et par conséquent de 
f{refV-i), pour r égal à R et 9 égal à une valeur particulière, « par exem- 
ple, ou, ce qui revient au même, pour re/V1 — Re:V-1, peut être de 
deux natures différentes ; elle peut consister en un changement brusque de 
valeur qui se produit dans cette fonction, lorsque faisant varier reV-1, 
on passe par la valeur Re*V-1; elle peut encore être due à ce que cette 
fonction devient infinie, lorsqu'on fait re/V=1 — RetV-i. 
6. Considérons d’abord le premier cas. La série 
Re Re: 
Lao) + PO RÉ Lo + + PO + 
