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pour les valeurs 5—0, 5— 2r. La chose est presque évidente : en effet si 
la série 
a? æ" 
fo) + f'(o) x + f'' (0) 1e He + DU Et ER 
R 
Lo) + f' (0) REV + (0) en + + 10) 
serait convergente pour toutes les valeurs de 6, et représenterait une fonc- 
tion finie et continue de cette variable (théorème IV de l’Introduction); 
or, On à vu au contraire que la somme de cette série devient ou discon- 
tinue, ou infinie, pour 0— &. 
12. Au commencement de cette note nous avons exigé, comme condition 
sans laquelle le développement de Maclaurin ne pouvait être applicable 
que parmi les valeurs obtenues en remplaçant dans la fonction proposée 
la variable x supposée réelle, par une variable imaginaire re’V-1, il yen 
eût une jouissant de la double propriété d’être continue par rapport à » 
et à 9 pour des valeurs suffisamment petites du module r, et de reprendre 
pour 5—2r la même valeur que pour 6 = 0. Or, il pourrait arriver que 
la première de cés conditions. étant remplie, la seconde ne le fût pas. 
Ainsi, par exemple, soit la fonction x” où m est un nombre fractionnaire, 
en y remplaçant æ par re’V=1, il vient 
r" cos. m(6 + 2kx) + VA r" sin. m(0 + 2kr), 
k étant un nombre entier, pour l'expression générale des déterminations 
de la fonction; or, si l’on suppose le nombre k fixe, chacune de ces dé- 
terminations est continue par rapport à » et à 9, mais n’a pas la même 
valeur pour 9 0 que pour 6—9xr. Dans ce cas, le développement or- 
donné suivant les puissances ascendantes et entières de x, subsiste encore, 
pourvu qu'on ait le soin de lui ajouter un terme; c’est ce que nous allons 
faire voir. 
15. Les fonctions o (r,6), 4 (r,6) restant toujours continues par rap- 
