4 MÉMOIRE 
elle donne 
| fred =ntie(m) +o(x,+h) +p(2,+2h) ……. + (x, +(n—1)h) ++e(X)]. 
(3 OR EE D= X ir(r—x, 
) PDP = fic. ee p(x) dx. 
| EE h 
Poisson observe que, si l’on fait passer le dernier terme de cette formule 
dans le premier membre, il en résulte, poûr x, —0 et X — æ , cette 
transformation d’une série dans une autre : 
2 Fe © dire h i= 
BR PE d +222 fes - © ga) de = = p(o) + à 2° p{ih). 
41— {) D LED | 
Voilà les seules applications qu'il a faites de la formule (1). 
Je vais faire voir, en peu de mots, qu’on peut en déduire, de la ma- 
nière la plus simple, plusieurs propositions importantes, entre autres la 
formule qui renferme les célèbres intégrales définies que M. Gauss a don- 
nées dans le $ 356 des Disquisitiones arithmeticae. Du reste, on possède déjà 
deux démonstrations analytiques de cette formule; mais ces démonstra- 
tions, dues à MM. Dirichlet et Cauchy, reposent sur des considérations 
analytiques fort délicates. 
Pour parvenir à la formule (1), Poisson fait usage de la suivante : 
à laquelle, pour le cas de x — a, il faut joindre celle-ci : 
1 [f(a)+f(— à] = [re dx + - ST; fes. EC 0 
a 
— 4 —a 
Mais l'importance de cette formule m'engage à faire voir comment on 
peut y parvenir directement. 
