i INTRODUCTION. 



crois du moins, n'avait trouvé la formule pour le cas où les anciennes 

 variables seraient données implicitement en fonction des nouvelles. 



On connaît les beaux travaux de M. Lamé, et les résultats très- 

 remarquables auxquels il a été conduit par l'emploi du système de 

 coordonnées qu'il a imaginé , et qu'à raison de leurs propriétés géo- 

 métriques, il désigne sous le nom de surfaces orthogonales. M. Lamé 

 n'ayant eu à examiner que le cas de trois variables, il a pu démontrer 

 les propriétés de ces coordonnées, par des considérations moitié ana- 

 lytiques, moitié géométriques. Mais comme, sous le point de vue ana- 

 lytique , les surfaces orthogonales constituent seulement un certain 

 système de variables, il semblait évident, a priori, que l'on devait 

 pouvoir démontrer les principales propriétés des surfaces orthogona- 

 les , seulement par le calcul. C'est ce que j'ai tâché de faire. Seule- 

 ment, afin que la question offrît plus d'intérêt, j'ai traité le cas de n 

 variables. Il m'a fallu, pour cela, faire usage des formules démontrées 

 dans les deux premières parties du mémoire : les recherches que j'in- 

 dique ici , en forment le troisième paragraphe qui se trouve lié ainsi 

 aux deux premiers. 



Parmi les résultats remarquables auxquels M. Lamé est arrivé, on 

 doit citer l'intégrale triple qu'il a trouvée le premier, et qui a été dé- 

 montrée par MM. Poisson, Chasles, Terquem et Tortolini. Comme ap- 

 plication des formules du troisième paragraphe , je donne l'expression 

 très-simple d'une intégrale d'ordre n, qui reproduit celle de M. Lamé, 

 quand on prend ?t ^ 3 ; puis, à l'aide d'une légère modification, je fais 

 voir que cette intégrale, d'ordre n, revient à une somme de produits 

 d'intégrales définies abéliennes, somme qui se trouve être égale à une 

 fonction algébrique très-simple. 



