10 TRANSFORMATION DES VARIABLES 



l" Le dénominateur de la valeur de x^, par exemple, renferme tou- 

 tes les combinaisons trois à trois des coefficients, chaque combinaison 

 ne contenant ni deux fois la même lettre, ni deux fois le même iudice; 



2" Deux termes qui, dans l'expression de ce dénominateur, peu- 

 vent se déduire l'un de l'autre par une permutation tournante , ont 

 même signe; 



3° Deux termes qui ne diffèrent que par le changement d'une lettre 

 en une autre, et réciproquement, sont de signes contraires; 



4" Par suite, le dénominateur est le même pour toutes les incon- 

 nues, pourvu que l'on prenne convenablement le signe du numérateur. 



6. Supposons donc que pareille vérification ait été faite pour n — l 

 équations entre n — 1 inconnues, je dis qu'elle se fera encore dans le 

 cas de n équations. 



En effet, soit, pour fixer les idées, w= 7 ; l'un des termes de D, sera 

 0.1 bi C5 rf, 62/5, et l'un des ternies de D4 sera a, h^ Cj d^ 62 fa. Je dis de 

 plus que ces deux termes sont de signes contraires. 



Pour justifier cette assertion, qui est la base de toute ma démons- 

 tration, j'observe que 



1° le terme 04 b^ C3 d^ 62 /^ de D,, a le même signe que a^ b^ c, d^ 

 65 f^, lequel entre dans D4, et se déduit du précédent par une permu- 

 tation tournante entre les indices; 



2"^ Les deux termes a-, b^ Cj d^ e^ f, et e^ f^ a, A3 c^ c/, qui entrent 

 dansD4, et qui se déduisent l'un de l'autre par une permutation tour- 

 nante entre les lettres, ont même signe; 



3° Les deux termes a, b^ Cr, d^ e-, f^ et e^ f(, a, b^ c^ dn de D4, qui 

 ne diffèrent que par le changement de c? en e, et vice versa, sont 

 de signes contraires. 



7. Il résulte de cette discussion que la fonction a,Dj-t-a2D2-t-....-t-a„D„ 

 est composée de termes qui sont, deux à deux, égaux et de signes 

 contraires; donc elle est identiquement nulle. La même chose a lieu 

 pour les autres fonctions (5). Par suite, la formule (6) et les remar- 

 ques du n" 5 ont lieu pour le cas de n équations. Donc, etc. 



M. Cauchy a donné, de la règle qui sert à former le dénominateur 



