DANS LES INTEGRALES MULTIPLES. 23 



Or, pourvu que l'on remplace 5, par du,, et y,, par r/j;,,, les pre- 

 miers membres des équations (19) représentent les différentielles com- 

 plètes, par rapport aux anciennes variables, des fonctions o,, 9,, .... o„; 

 tandis que les premiers membres des équations (20) sont les différen- 

 tielles complètes de ces mêmes fonctions, par rapport aux nouvelles 

 variables Donc : 



<( Différenciez chacune des équations ^ , = 0, o, = 0, ©^ = 0, 



» en regardant comme indépendantes toutes les variables. Égalez à 

 » zéro, ou à une constante, la partie qui dépend des anciennes diffé- 

 1) rentielles, et à zéro ou à une constante, la partie relative aux 

 » nouvelles différentielles. Vous aurez de la sorte deux groupes de n 

 » équations chacun : dans le premier groupe entreront comme iucon- 

 » nues les différentielles des variables primitives, et dans le second 

 )) les différentielles des nouvelles variables. Si vous désignez par X 

 )) le dénominateur pour le premier groupe, et par U le dénomina- 

 » teur pour le second, vous aurez, pour la formule de transformation 

 » cherchée : 



Xdi^.dx^ .... Jj',, = ± U(i«|.t/i<, .... «?«„ (21) 



Nous employons le double signe, au lieu de ( — ^^1)" : cela tient à cette 

 circonstance, que les dénominateurs X et U pouvant changer de signe, 

 suivant l'ordre dans lequel les équations qui servent à les former 

 auront été écrites, il est impossible de décider quel signe on doit 

 employer dans l'équation (21). Mais, dans chaque cas particulier, l'in- 

 détermination cessera. 



20. Si les anciennes variables sont données en fonction des nouvel- 

 les, explicitement, les équations (17) deviennent 



!r, — r, = 0, T, — J-, = 0, .... r^ — i;„ = 0; (22) 



r.,, -,, -„ désignant des fonctions des nouvelles variables seule- 

 ment. En appliquant la règle précédente à ce cas plus simple , on 



