DANS LES INTEGRALES MULTIPLES. 33 



petite que l'unité que prend alors le second membre , résoudre l'équa- 

 tion 



'■■ (46) 



;/ — », >j —"i y — "'• 



les n racines de cette équation seront les valeurs de u',, îil, u'„, 



correspondant aux \aleurs choisies pour xl, xl, .... xl. 



Si par exemple n= 3, et si a?,, .2^2, x^ sont les coordonnées rectan- 

 gulaires d'un point compris dans l'ellipsoïde représenté par l'équation 

 (45), les trois racines de l'équation (46) seront les carrés des coor- 

 données elliptiques de ce point, ou les carrés des paramètres des trois 

 surfaces orthogonales qui s'y croisent. 



On prouve très-facilement que l'équation en y a ses racines réelles 

 et inégales ' : cela démontre la possibilité du système de transfor- 

 mations représenté par les formules (24); système que nous avions 

 admis jusqu'ici, mais sans justifier son emploi. On sait, en outre, 

 qu'en désignant par u], ul, — m^, les racines de cette même équa- 

 tion, l'on a 



»: >a',>uly al> .... > «■ > a,! ; (47) 



ce qui apprend que chacune des nouvelles variables, à l'exception de 

 M, , sera comprise entre deux termes de la suite a^, 02, . ... a„. 



Afin de savoir si ces deux termes sont les limites de l'intégrale par 

 rapport à cette nouvelle variable, je reprends les équations (25) : 



1" En y supposant a^i = a?, = = a;„^0, auquel cas h = 0, elles 



donnent 



2° En posant, dans ces mêmes équations, .'v] = a" — a], et a,\ = a?3 

 = . . . . = a'„ = 0, ce qui donne h= \ , il vient w, = a, ?/, = a^, 

 , u„ = a„. 



Voyez , sur ce point , le Journal de M. Liouville, lom. III , p. 

 ToM. XIV. 



