DANS LES INTEGRALES MULTIPLES. 37 



D'un autre côté , on prouve très - facilement , ainsi que l'a fait 

 M. Poisson, que dans le cas de « = 3, la propriété énoncée par la for- 

 mule ci-dessus, revient à celle qui constitue le théorème de Legendre : 



F, (A) E, (c) + F, (c) E, (i) - F, (4) F, (c) = 4 t. 



Il résulte, si je ne me trompe, de ces deux observations, que l'é- 

 quation (56) donne, pour les intégrales définies abéliennes d'un ordre 

 quelconque, le théorème trouvé par Legendre, seulement pour les 

 fonctions elliptiques de première ou de seconde espèce. 



Ordinairement, dans les intégrales définies abéliennes, on prend 

 pour la limite inférieure, zéro. Il serait facile, au moyen d'un chan- 

 gement de variables, de transformer les intégrales ci-dessus en d'au- 

 tres, satisfaisant à cette condition : mais comme la formule (56) serait 

 remplacée alors par une autre assez compliquée, je me dispenserai de 

 faire le calcul que j'indique ici. 



35. Si l'on multiplie par ti]. u\ ul la fonction n développée, 



le résultat sera, comme on sait, égal au déterminant du système 



-■r 





(S7) 



en posant, pour simplifier, î;, = u',. 



Il résulte de là que l'on pourra déterminer la fonction placée sous 

 le signe 2 dans la dernière formule, soit par la multiplication, soit en 

 appliquant au système ci -dessus la règle relative aux déterminants. 

 On devra avoir soiti, si l'on emploie ce dernier moyen, de diminuer 

 d'une unité chacun des exposants des lettres v. 



36. En terminant, je ferai observer que, si l'on donne d'autres for- 

 mes à la fonction placée sous le signet, dans l'intégrale (44), on ob- 



