DANS LES INTÉGRALES MULTIPLES. 41 



les limites étant déterminées par 



2/! -+- 2/3 -+-••••-*- î/"< 1 • 



Or, eu appliquant la méthode exposée dans mon Mémoire ftîtr la 

 réduction cfune classe d'intégrales multiples ' , je trouve 



/i-a! rfu \ — xldV, 



'=!^^'"'-"^'^"--"^> ••••'"■-''" (vs"--".'f'i^)^ • ■''" 



en posant 



~ y' [y'' — \y^ dv 



""=1 Vfy 



V{v'-X\) {v'->,{) .... (r^-A=) 



(69) 



On devra se rappeler que cette valeur de B n'est qu'une expression 

 abrégée , attendu que l'intégrale U serait infinie, et que la quantité 

 entre parenthèses se compose réellement de n — 1 intégrales simples 

 différentes. On se rappellera, en outre, que a„= 0, 



41. Si l'on convient de classer les intégrales abéhennes d'après le 

 degré de la quantité placée sous le radical; que l'on appelle, par 

 exemple, intégrale à^ ordre n celle qui contient un dénominateur de la 

 forme ^ x'" + kx-"'- + .... + N; il est clair que la formule (66) ren- 

 ferme une somme de produits d'intégrales définies d'ordre n : or, d'a- 

 près la formule (68), cette somme se réduira, si n est impair, à une 

 somme d'intégrales d'ordre n — 1 , et si n est pair, à une somme d'in- 

 tégrales d'ordre n. La comparaison des deux valeurs trouvées pour l'in- 

 tégrale proposée B , fournit donc un second théorème sur les intégrales 

 définies abéliennes. Nous démontrerons plus loin qu'il est distinct du 

 précédent. 



42. Supposons, comme cas particulier, w = 3. La formule (66) 

 deviendra d'abord 



/ — r 



•/ 1/7:7 



«/»,.</!(, (h; — ?(j] (m^ uV) («' Mj) 



V/ (u;-«-) («;-«■) (h;-o-)X (■*;--»') K-»3)K-"=^ 



Journal de Liouville , tom. IV, pag, 

 ToM. XIV. 



