DANS LES INTEGRALES MULTIPLES. 43 



44. Pour plus de simplicité, je remplace ?/,, u^_, u^ par a,u ,v.\^ik 

 fonction qu'il s'agit de ramener aux transcendantes elliptiques est 





dv l/(a' — u') {a' — r') {«' — »') 



Je fais 



W—W 1— c'sin.'y ,, sin.'o ,_., 



a,=ak, a^=ak, c'^—— -— , «' = «'/:= ,. , . , , v'=a'k' — . . . /l) 



A-(l — k ) 1 — A c sin. ^- 1 — A COS. e 



Au moyen de ces valeurs , qui donnent A' < Z- < 1 , et c < 1 , j'ob- 

 tiens successivement 



du= — akc'' (1 — k') ; Va' — u' = ; 



(l--i'c'sln.'j,)^j/l-c'sin.=y \/ l — k'c' sin.'^ 



.y-, ; ack\/\—k'sw. y ,-— . /(i'— É") — *V(1— A")sin.V 



Va, — u' = — ; K » — a'^a \/^ i 



l/l — Ac'sin.'y V 1 — A'c^sin.'ç. 



ack \/\ — k" COS. j 



VT^^ 



s'c' sin.' 



COS. erfO ,, a\/\ — k' 



dv=:ak'{\—k'') -^; Va-—v'=^ 



(1— A"cos.'e)^ l-^l— i"cos.'9. 



. . /k-(\-k--) — k' 



— ^"(I—A°) sin.'o 

 cos.'O 



„„ *"(!-*' 



ou , en posant c" = ^, n^^-n 



/l — c'= sin.'o 



Va\-v' = ak yi — k" \ /- — , 



y 1— A^cos.'O 



. , COS. 



[/a' — v^ = ak' \/i~k- 



Vl—k"cos.' 



En substituant ces valeurs dans l'expression de dB, et faisant atten- 

 tion aux réductions , on obtient 



/. 1 — c'sin.'s . sin.'o \ 



U' -, ^ k" d-. d(J 



\—k' \ 1 — A'c'sin.'f 1 — A' COS. '9/ ' 



dR==^a'-— ^ '- . . . (72) 



* ,(l—AVsin.'5,){l—A"cos. '6)1/(1— c'sin.'i,)(l-c"sin.'0) 



