DANS LES INTÉGRALES MULTIPLES. 45 



ques de troisième espèce. Quant aux deux autres, elles se ramènent 

 aussi aux fonctions elliptiques; et, à l'aide de calculs dont on peut 

 voir le détail dans Legendre , on trouve 



P 



- ''i' V^l — c'sin. 



(1 — c'sin. 'Asin.''j.)' 







— [eos'A F- (c) -4- sin.'AE" (c) — ( 1 — Ssin.'A+c'sin.'i À) IT (A , c)] , 



2sin.'A(l — c'sin.'A) 



sin.'' 0rf9 







1 



/ï sin.' 0d9 



(1 -i-«sin.'9)' V/ï^ 



9)'K 1— i'sin.'o 



La substitution de ces valeurs dans la formule (70) donne , après 

 quelques réductions : 



B=i J[(l-*')F'W + *'E-(c)]n'{»,6)-i^^^^^f^[F'W-*^E'(i)]n-(^,'=) . (74) 



Cette expression ne diffère que par la notation, de celle qui se 

 trouve à la pag. 190 du 1"="' volume des exercices de calcul intégral : 

 en continuant la réduction comme Legendre, on trouve enfin, pour 

 la valeur du premier membre de l'équation (70) : 



B = l Ta'il^l — i" [A'E{c, i) H- (l-i^)F(c,Â-) + iV/l-/l'l/l — A"] . . . (75) 



Or, cette valeur est précisément celle du second membre de la 

 même équation, ainsi que je l'ai fait voir dans le mémoire cité. 



47. Il résulte des calculs précédents, que l'équation (70) n'apprend 

 rien de nouveau sur les fonctions elliptiques ; c'est-à-dire qu'en ad- 

 mettant les propriétés connues de ces transcendantes, elle n'est qu'une 

 identité. Mais il résulte aussi de ces calculs que la proposition, émise 

 dans le n" 41 , se trouve démontrée. 



En effet, la formule (70) ne devient identique qu'à l'aide de deux 

 théorèmes différents; l'un relatif aux fonctions complètes de première 



