46 TRANSFORMATION DES VARIABLES 



et de seconde espèce , à modules complémentaires ; l'autre relatif à la 

 réduction des fonctions complètes de troisième espèce, en fonctions de 

 première et de seconde. 



Il est évident, d'après cela, que si on voulait établir par un calcul 

 direct l'identité des formules (66) et (68), on ne le pourrait qu'en ad- 

 mettant deux propriétés distinctes des fonctions que nous avons con- 

 sidérées; savoir, celle qui est exprimée par l'équation (53), et qui 

 renferme le théorème de Legendre sur les fonctions elliptiques com- 

 plètes de première et de seconde espèce, à modules complémentaires ; 

 et ensuite un autre théorème qu'il serait difficile d'énoncer, mais qui 

 correspond à la réduction des fonctions complètes de troisième espèce. 



48. En suivant la marche indiquée dans ce paragraphe, on arri- 

 verait facilement, ainsi que je l'ai déjà dit, à d'autres théorèmes sur 

 les intégrales abéliennes définies. De plus, si l'on intègre ou si l'on 

 différencie par rapport à m,, les deux membres des équations démon- 

 trées dans ce mémoire, on obtiendra d'autres relations plus compli- 

 quées. On pourrait aussi généraliser les équations (25), en remplaçant 

 l'exposant 2 par un exposant entier quelconque ; ce qui conduirait 

 à des théorèmes analogues sur les fonctions de la forme f "jpr , etc. 

 Je me contenterai d'indiquer ici une propriété assez remarquable des 

 variables employées dans ce mémoire. 



49. En ajoutant les équations (26), on obtient 



Pour simplifier la seconde somme, je prends la fraction rationnelle 



\x — u;) (J — «J .... (.r — »t„) ^ 



Le numérateur étant de même degré en x que le dénominateur, si 

 l'on fait la division, on aura pour quotient 1. Par suite, la fraction 

 proposée sera égale à 1 plus une autre fraction, dont le numérateur 



