6 ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 



gères à la théorie de ces fonctions. Quant à la troisième , Kramp pa- 

 rait avoir eu surtout pour but, dans ses savantes recherches sur cette 

 produite, de déterminer les différentes formes de la fonction généra- 

 trice et les divers moyens de l'évaluer. Il est vrai qu'après avoir pré- 

 senté cette évaluation, il ajoute qu'on déduirait des mêmes principes 

 celle de la produite continue plus générale, rapportée sous la mar- 

 que (4). Mais il ne l'a pas fait, et l'on ne conçoit pas tout de suite 

 comment l'application des principes qu'il a exposés peut conduire à 

 la solution du problème. 



L'objet du présent mémoire est de rechercher les formules d'éva- 

 luation des produites continues comprises sous les formes générales 

 que je viens de présenter , de remonter à leurs fonctions génératrices 

 et de développer eu séries celles pour lesquelles la loi de développe- 

 ment peut être saisie. 



On facilite singulièrement les calculs auxquels ce développement 

 entraîne , par l'emploi de quelques formules de transformation dont 

 il ne parait pas qu'on ait fait usage jusqu'à ce jour. Je commencerai 

 donc par l'exposition de ces formules. 



II. DÉVELOPPEMENT DES PRODUITS DE SINUS ET DE COSINUS EN SOMMES DE 



PAREILLES FONCTIONS. 



Soient a, o,, a,, 03, .... o„_i , un nombre n d'arcs quelconques. 

 Il existe entre les deux premiers les relations connues : 



Î2 COS. a. COS. o, = cos. la -+■ a.) -H cos. (o — a.] 

 — 2 sin. a. sin. a, = cos. (o -i- a,) — cos (o — o,) 

 (9) 2 cos. o. sin. o, = sin. (o-*- n,) — sin. {a — o,). 



Multipliant la première par 2 cos. a, et la deuxième par 2 sin. a.,, on 



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