ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 7 



trouve : 



2' COS. a. COS. <J,. COS. o, = 2cos. (a„ -i-«,) cos. o, -+- 2 cos. (a — a,) cos. a, 

 — 2' sin. a. sin. a,, sin. a, = 2 cos. (a -4- a,) sin. a, — 2 cos. (a — a,) sin. a, 



simplifiant les seconds membres au moyen des relations (8) et (9) , ou 

 obtient : 



2' COS. a. cos. a,, cos. a, = cos. («-+-«, -i- o,) -t- cos. (a -t- a, — a,) -t- cos. (o — a, — a.) 



■+- COS. (a — a, -i- flj) 

 — 2' sio. a. sin. a,, sio. a, =^ sin. (a + o,+ a^ — sin. (a -f-o, — a,) -i- sin. (a — a, — o J 



— sin. [a — a, -I- o.,). 



Multipliant les nouvelles relations , la première par 2 cos. O3 , la 

 deuxième par 2 sin. a^, et simplifiant à l'aide des formules (8) et (9), 

 on arrive à celles-ci : 



COS. (0-4-0,-1-0,-1-03) -i- cos.(a-i-o,-Haj — Oj) -t- cos.(o-t-a, — o, — a,) -i- cos.(o— o, — a,-\-a^ 

 ■+- cos.{a-i-o, — Oj-t-Oj) -1- COS. (a — 0,-4-0, — «3) 

 -1- COS. (a — 0,-4-0,-1-03) -I- COS. (0—0, — Oj-t-Oj) 

 — 2' sin. a. sin. a,, sin. a,, sin. «3 = 



COS. (oH-o, -4-0,-4-03) — cos.(a-i-a,-i-a, — o,) -i- cos. (0-4-0,-0,-03) — cos. (a — 0, — 0, — n^ 



— cos. (0-4-0, — 0,-4-03) -4- cos.(a — a^+a^ — 03) 



COS.(fl — 0,-4-0,-4-0,) -4- COS.(o — o, — Oj-HOj). 



On obtiendrait de la même manière les développements des produits 

 d'un plus grand nombre de cos. et de sin. ; mais l'examen des cas par- 

 ticuliers qui précèdent, permet déjà de reconnaître les lois auxquelles 

 ces développements sont soumis. Voici ces lois : 



1° Le produit des cos. de n arcs a, a,, a,, «3, ff„_i par le nombre 

 2""' est égal à la somme des cos. des 2"~' arcs qu'on obtient en com- 

 binant avec le premier a, les n — 1 autres pris successivement avec 

 les signes -\- et — , et tous ces arcs entrant dans chaque combinaison ; 



2" Le produit des sin. de n arcs a, a,, », , O3, . . a„_, par le nom- 

 bre 2"^' pris avec le signe moins, est égal à la réunion de 2"~' cos. , 

 si n est pair , et à celle de 2"~' sin. , si n est impair; ces sinus et ces co- 

 sinus sont ceux des arcs qu'on obtient en combinant avec l'arc a les 



