8 ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 



n — 1 autres pris successivement avec les signes + et — ; enfin le signe 

 de chaque terme est positif ou négatif selon qu'il entre, dans la com- 

 position de l'arc correspondant, un nombre pair ou impair de parties 

 négatives — a^, — a^, .... o„_i. 



La généralité de ces deux lois sera établie si l'on démontre que , 

 ayant lieu pour un nombre donné d'arcs , elles ont lieu encore pour 

 un arc de plus. En effet, puisqu'elles sont vraies pour quatre arcs, 

 elles le seront pour cinq , puis pour six , pour sept , etc. 



Soit donc, pour le produit de n sinus et dans le cas où n est pair, 

 l'égalité hypothétique : 



— 2"—' sin.a.sin.a,.sia.a, .... sin. On—i =cos. A„ -t- ( — 1) Scos. A, -i- ( — l)'Scos. A^ h- .... 



-t-(— ly s COS. kp-\-.... 



dans laquelle p indique le nombre de parties négatives qui entrent 

 dans la composition de l'arc A^ et 2 cos. A^ la réunion des cosinus 

 de tous les arcs qui renferment jo parties négatives. Le nombre des 

 termes du second membre est par hypothèse égal à 2"~'. 



Cette relation étant multipliée par 2 sin. a„, le premier membre 

 devient 



— 2" sin. o. sin. a,, sin. o, .... sin. On— i. sin. o„, 



et, dans le second membre, on a, en particulier, pour la somme 



(—1)^2 cos. A^. 



(- ly Z cos. A;, X 2 sin. o„ = (— 1)'' S sin. (A^, + a„) -t- (—If'*"' sin. (A^— a„). 



Donc, par l'introduction d'un facteur nouveau 2 sin. a„dans le pre- 

 mier membre , 1° le nombre des termes du second membre est doublé ; 

 il était 2 pour deux facteurs, il sera 2" pour trois, 2' pour quatre, .... 

 2"~' pour « facteurs; 2° le second membre exprimé en cosinus dans le 

 cas de n pair , est exprimé en sinus dans le cas de /i + 1 impair ; 3° tout 

 terme sin. (A^ — a„) dans la composition duquel le nombre des parties 

 négatives est plus grand d'une unité que celui des parties négatives qui 

 entrent dans cos, A^ prend un signe contraire à celui de cos. A^; et tout 



