ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 9 



terme sin. (A^ + a„) , dans la composition duquel le nombre des parties 

 négatives est le même que celui des parties négatives qui entrent dans 

 COS. A^, conserve le signe de cos. A^. On voit donc que le développe- 

 ment du produit d'un nombre impair de sinus suit la loi énoncée plus 

 haut , si cette loi a lieu pour le développement du produit d'un nombre 

 de sinus pair et immédiatement inférieur. Il en résulte évidemment 

 que la loi étant vraie pour un nombre impair ?i-\- \ , est vraie aussi 

 pour le nombre pair immédiatement supérieur « -f 2. Or , elle a été 

 reconnue pour le produit de quatre sinus ; donc elle est générale. 



On démontrerait de même la loi du développement du produit d'un 

 nombre quelconque de cosinus. 



Convenons actuellement de représenter , comme il suit , les déve- 

 loppements des produits dont il vient d'être question. 



(10). 



\ 



2"— I COS. a. COS. o, cos. a„_, = cos. A„ -t- 2 cos. A, H- S cos. A, -+- .... 



■+- i; COS. Ap -+- .... , 



-2"—' sin.a.sin.a sin. o„_, := cos. A„ -+- ( — l)Scos. A,-4-( — l)"Ecos.Aj 



-+-.... -t- (—l)p S COS. A;, ■+- .... , 



-2"—' sin.o.sin.o, sin. o„_, = sin. A^, -i- (— IjSsin. A,-i-( — Ij'Xsin.A, 



-t- .... -+- (— 1)P Ssin. kp -+- 



La seconde de ces identités ayant lieu quand n est pair , la troisième 

 quand îi est impair , et la première pour un nombre n entier quel- 

 conque. 



Il est aisé d'expliquer comment le développement du produit de 

 plusieurs sinus ne peut renfermer de sinus si le nombre des facteurs 

 circulaires est pair, ni de cosinus si le nombre de ses facteurs est 

 impair. En effet , si l'on vient à changer les signes de tous les arcs 

 a, Oj, o,? «3? •••• «n-o Iss signes de tous les facteurs du premier mem- 

 bre changeront, et le signe du produit restera le même ou changera 

 selon que le nombre de ses facteurs sera pair ou impair. Il en devra 

 être de même du signe de la quantité représentée par le second membre. 

 Or, comme, dans le cas général, il n'y a pas de réduction possi- 

 ble dans le second membre , on voit que ce'second membre ne chan- 

 gera de signe qu'autant que chacun de ses termes ne change de signe 

 Ton. XIV. 2 



