10 ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 



en même temps que l'arc correspondant. Ainsi, le second membre ne 

 pourra conserver son signe ou en changer qu'autant qu'il ne renferme 

 pas de sinus dans le premier cas , ou de cosinus dans le second. 



On peut reconnaître aussi comme il suit que le nombre des ter- 

 mes du second membre de ces identités est 2"~\ Considérons l'arc Aq 

 du premier terme. Cet arc ne renferme pas de parties négatives. Si l'on 

 y change successivement le signe des parties a,, a^, «3, .... a„_,, on 

 aura n — 1 arcs renfermant chacun une partie négative ; donc le nom- 

 bre des termes contenus dans chacune des sommes 2 cos. A,, 1 sin. A, est 

 égal à ?i — 1 . Mettant ensuite à part l'un des arcs A, qui renferment une 

 partie négative , on pourra y rendre négative successivement chacune 

 des n — 2 autres parties a.^, a^, a^, .. . . a„_i, et cet arc en particulier 

 fournira M — 2 arcs contenant 2 parties négatives; les n — 1 arcs A, 

 étant traités chacun de la même manière , fourniront en tout (« — 1) 

 (n — 2) arcs A,. Mais il est visible que ces arcs seront les mêmes deux 

 à deux ; donc le nombre des arcs essentiellement différents qui ren- 

 ferment deux parties négatives est "~ ^ J* et le nombre de termes 

 contenus dans chacune des sommes 2 cos. A, , 2 sin. A. est égal à 

 "~ ^ J'~" . En poursuivant toujours de même, on conclura générale- 

 ment que le nombre de termes contenus dans chacune des sommes 

 2 COS. A^ , 2 sin. Ap est égal à '^pf,— . H en résulte que le nombre total 

 des termes de chaque développement est égal à 



»— 1 («— l)(«-2l (n— 1) (m— -2) (n— 8) n—\ 



I + -p- + ^J^ + f^2J "*" •■•■ + -p + ' 



c'est-à-dire égal à 2""' , puisque l'expression qui précède est le déve- 

 loppement de (1-1-1)"-'. 



Il suit aussi de là que le nombre des termes réunis des sommes 

 2cos. A«et 2 cos. A„_^ou des sommes 2 sin. A^etS sin. A„_a, est égal à 

 (apr! j c'est-à-dire qu'on a l'égalité 



