14 ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES, 



plus général , de la forme 



1 -4- k.u' H- A_,u* -t- /i^w'' ■+- .... ■+- k,,u'" . 



Or, d'une part, si l'on pose 



Sg,^ = I H- /S*'" ^ a*'' + /s®'" H- .... /3*(" -•''', 



on sait que Sa^ est égal à n pour toute valeur de ju multiple de n et 

 nul pour toute autre valeur de (j.. On aura donc 



S, = 0, 8^ = 0, So=0, S,„ = n; 



d'une autre part , les coefficients k^. , A'4 , /«s , . . . . lun sont liés entre eux 

 et aux quantités S, , S^ , S2„ par cette relation des fonctions sy- 

 métriques 



Il est donc évident que le coefficient Z'a^ est nul pour toute valeur 

 de jn qui n'est pas multiple de n, et que pour //=«, on a />%„ = ( — 1 )""^\ 

 Donc la décomposition indiquée sous la marque (12) est exacte. 



Actuellement si , dans la produite continue (6) , on écrit 



i^s=" = (-])"+'. (—1)""^' V'" = (-1)""*"' V" . 

 en posant 



(18) V" = (-1)""^' V" . 



elle deviendra 





etc. 



Or, chaque facteur de cette expression est de la forme du binôme dé- 

 composé par le formule (12). Cette produite continue pourra donc s'é- 



i 



