ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 



V. DU DÉVELOPPEMEWT DES PRODUITES CONTINUES EN SERIES. 



On vient de voir que l'évaluation des produites continues par leurs 

 logarithmes est toujours possible quand on peut évaluer la somme des 

 coefficients de x et celle de leurs deuxièmes, troisièmes, quatrièmes, etc., 

 puissances. Les mêmes conditions suffisent pour le développement des 

 produites continues en séries. Car ces sommes sont liées aux coefficients 

 de ces séries par des relations connues depuis Newton. Toutefois l'im- 

 possibilité d'obtenir, dans le plus grand nombre de cas, le terme gé- 

 néral de ces séries , m'a porté à ne m'occuper ici que des produites 

 continues (16) et (17). 



Nous représenterons la première par S et la seconde par C. Nous 

 aurons donc à trouver les développements identiques aux expressions 



sin. ix. sin. /3).c. sin. û'f'r. sin. &ix sin. li"—'ix 



(3S) S = 



2/1 — I 



(8-4) C = cos.î;j:.cos./3e.r. cos./3'îV.cos. /3'i.r . . . . COS. ;3"— ' 8>, 



En les comparant aux formules (10) , on prévoit sans peine que c'est 

 de ces formules que doivent se déduire les développements en ques- 

 tion. 



En efTet, concevons que, dans ces formules (10), on donne aux 

 arcs a, a,,a2, a^, .... qui y entrent, les valeurs suivantes : 



a = t.c , a, = $ix, a^ = $''ix, a^^li^ix, .... o„_ i = /î"— ' e> , 



elles donneront visiblement les développements dont il s'agit en fonc- 

 tion de sinus et de cosinus d'arcs de la forme 



( 1 -1- 3 -*- /3' -t- /3' -H -+- /S"-' -1- fl"-') ix , 



et le nombre de ces arcs sera de 2"~'. Mais ce qu'il est important de re- 



