26 ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 



îi,etil suffit d'en connaître ^^ — qui ne se transforment pas, par les opé- 

 rations que je viens d'indiquer , les unes dans les autres : la connais- 

 sance de ces arcs que j'appellerai jorwniYî/s conduit, comme on vient 

 de le voir, à celle des autres arcs. 



Il est vrai que le quotient -^ n'est un nombre entier qu'autant que 

 n est une puissance de 2. Mais dans le cas où cela n'est pas , il y a tou- 

 jours des combinaisons de 1, /3, /5',/3' .... /3"~' qui sont nulles d'elles- 

 mêmes. En effet, si le nombre n n'est pas une puissance de 2 , on peut 

 concevoir qu'il est le produit de deux nombres dont l'un au moins est 

 impair. Soitp ce facteur impair et m l'autre facteur. On aura donc en 

 général n = mf. Or, si l'on fait 



1 + /3 -4- /3' -1- ,3' + .... ^-' = M , 



il est visible que l'une des combinaisons des quantités 1 , /S , /3' , /5' . . 

 /S"~' peut être mise sous la forme 



(86) M - MO" -+- M/3'"' - M/3'"' -+- .... + M/s'"-"'" , 



et cette expression revient évidemment à celle-ci : 



1 -I- /3'" 1 + /3"' 



qui est nulle, puisque /3"= — 1. Donc cette combinaison et toutes 

 celles qui s'en déduisent, soit par les changements de signe dans les 

 termes du facteur commun M , soit par toute autre opération , sont 

 nulles d'elles-mêmes. 



On remarquera que j'ai tout seulement démontré qu'il y a des com- 

 binaisons nulles d'elles-mêmes, lorsque le nombre n n'est pas une 

 puissance de 2. Il resterait à déterminer l'expression générale du nom- 

 bre des combinaisons qui jouissent de cette propriété. Mais cette ex- 

 pression , qui est évidemment liée à celle du reste de la division de 2"~' 

 par n, ne me parait pas moins difficile à établir que celle de ce reste. 

 Le seul cas où n est un nombre premier fait exception. En effet m est 



