ESSAI SUR LES PRODUITES CO^'TI^UES. 27 



alors égal à l'unité aussi bien que M et p se change en n. L'expression 

 (36) donne donc 



1 — /3 H- /3" — /3' -t- ^i — .... — 5"-= -<- H"'' = , 



et toutes celles qu'on en déduirait par les opérations qui ont fourni le 

 tatleau (35) lui seraient identiques. Donc, lorsque w est un nombi-e pre- 

 mier, une seule des combinaisons des quantités 1 , /3, /5'.. ,5"~' est nulle 

 d'elle-même. Donc aussi 2""' — 1 est exactement divisible par n, toutes 

 les fois que n est un nombre premier. Ceci est , sinon une démonstra- 

 tion, du moins une confirmation nouvelle du théorème de Fermât. 



Les relations du tableau (35) sont périodiques en ce sens que , si on 

 multiplie la dernière par /3, on reproduit la première. La combinaison 



1 -t- /3 -+- û' + ;33 -4- .... -+- H"-' , 



engendre donc une période de n combinaisons différentes. 



La combinaison (36), qui est nulle d'elle-même, ne donne naissance 

 au contraire qu'à une période de m termes. En effet, si on la multi- 

 plie par — /5 d'abord et ensuite (ni — 1) fois de suite par /3, ou , ce qui 

 revient au même, si on la multiplie par — ,S"' , on obtient une combi- 

 naison qui est l'expression (36) elle-même. 



Ainsi , le nombre de combinaisons que peut engendrer une combi- 

 naison nulle d'elle-même, considérée comme combinaison primitive, 

 est toujours moindre que le nombre de termes qui composent chaque 

 combinaison moins un. 



Cette propriété résulte de ce qu'une combinaison nulle d'elle- 

 même ou l'une de celles qui en dérivent, peut se ramènera la forme de 

 l'expression (36) dans laquelle les termes étant alternativement posi- 

 tifs et négatifs, les termes extrêmes sont essentiellement de même signe. 

 Cette forme appartient aux seules combinaisons nulles d'elles-mêmes. 

 Donc ces combinaisons sont les seules qui jouissent de la propriété 

 d'engendrer un nombre de combinaisons dérivées moindre que ?i — 1. 



Il suit de là que, si le nombre de combinaisons nulles d'elles-mêmes 



